正多面体

正多面体

正5角形12個でつくる多面体

今回は2種類の正N角形で構成される32面体を制作してみたいのですが難しいので、これを作る前に簡単な多面体を作ってみまひょ。
形状は正5角形12個で構成される正12面体です。
糊しろをつけるのを忘れてましたが展開図を添付しましたので厚紙に印刷、切ったり曲げたりすると多面体が出来ます。
実物をつくると説明を理解しやすくなると思います。

(1)
適当な位置に一辺が30mmの正5角形を作図して中心をX=0 Y=0に移動させます。
中心位置を赤丸で示します。正確に作業を行う必要がありますので、数値入力を行い、スナップを有効にしてください。
必要でしたら基準点を設けます、時々、拡大して確認も忘れずに。一辺が30mmの正5角形を2つ、初めに作図した辺に合わせて作図します。(図1）
両方の正5角形をそれぞれ接する辺を中心に曲げていくと、ある角度で合いますがこの図はそれを求めるヒントを含んでいます。

(2)
この角度を求めなくてはなりません。紙で作った模型に分度器を当てて計測をしても正確には測れません。
三角関数で計算出来ますが、ここでは省略します。
ここでは視覚的に計算なしで傾斜角を出します。図2はこの角度を求めている所ですが説明を略します。
計算ではないので、0.1度程度の誤差は出ても問題ないでしょう。求めたらメモしておき、右の正5角形を削除します。

(3)
2つの正5角形をそれぞれ3D多角形化もしくはNURBS曲線化→NURBS曲面化します。中心にある正5角形は塗りを黒色とします。
次にモデル→右から見るで作業を行います。正5角形を右端を基準に半時計方向に所定の角度で回転させます。
この図3は回転後、上から見た図で5角形が縦方向に縮んで見えます。

(4)
モデル→上から見るに戻して、傾いた5角形を選択、配列複製ツ-ルでX=0 Y=0を中心に回転角度72度で4個複製します。
複製図形が正5角形の辺に沿い、且つ5角形どうしもピッタリ合っていますか。図4は上から見ています。
ここで、複製図形が5角形の辺に合わない場合には、配列複製の設定が正しくないか、正5角形の中心がズレているものと推察します。
また、周りの5角形どうしの辺が2重にかさなったり、外に行くに従いスキ間が極端に広がる場合には、傾斜角度に誤りがあると推察します。
わずかなスキ間やズレ、重なりは気にせんと進めます。

(5)
図3を斜め上から見るとこのようになります。（図5）

(6)
展開図を見ると黒表示の上半分と赤表示の下半分は回転していますが、対称形であることがわかります。そこで4で作った6面をグル-プとします。
モデル→前から見るに替え、3Dミラ-反転複写ツ-ルで下側に複写します。
モデル→上から見るに替え下側を36度回転させ、モデル→前から見るで上側に合う位置まで移動させます。
図6は浅い角度で見た完成品です。
あんまり実用的とも思えない形状ですが、このような形状を持つものとして12個のスピ-カ-を内部に組み込んだスピ-カ-ボックスがあるようです。

参考までに展開図と3Dデータを添付しました。

• 展開図
  2D_tenkaizu_v10.mcd
• 3D_DATA
  12D_v10.mcd

＊Baby Room 2008-05-02 (金)

正N多角形を組合せてつくるサッカーボールと似た形状

今回は多面体でサッカ-ボ-ルに似た形状を作ってみます。正5角形12個と正6角形20個を組み合わせて正36多面体を作りますが、展開図は図の通りです。

これを厚めの紙に印刷して切ったり折り曲げればサッカ-ボ-ルよりは小さいのですが、似た形状が出来ます。
それでは画面上で3D形状を作ってみます。

(1)
前回同様、適当な位置に一辺が30mmの正5角形を作図して中心をX=0 Y=0に移動させます。中心位置を赤丸で示します。
一辺が30mmの正6角形を2つ、1で作図した辺に合わせて作図します。
両方の正6角形をそれぞれ5角形の辺を中心に曲げていくとある角度で合いますがこの図はそれを求めいます。わかりやすくするため、3角関数は使用しません。　
求められたらメモしておき、右側の正6角形を削除します。　
前回の正12面体より面数が2倍以上あるので大きさも大きく、その分角度は浅くなっています。実測ですので0.1度程度の誤差は生じるかもしれません。

(2)
2つの正N角形をそれぞれ3D多角形化もしくはNURBS曲線化→NURBS曲面化します。正5角形は塗りを黒色とします。
次にモデル→右から見るで作業を行います。正6角形を右端を基準に半時計方向に所定の角度、回転させます。
この図2は回転後、上から見た図で6角形が縦方向に縮んで見えます。

(3)
モデル→上から見るに戻して、6角形を選択、配列複製ツ-ルでX=0 Y=0を中心に回転角度72度で4個複製します。
正5角形の辺に沿い、且つ6角形どうしもピッタリ合っていますか。
図3は上から見ています。ここで、6角形が5角形の辺に合わない場合には、配列複製の設定が正しくないか、正5角形の中心がズレているものと推察します。　
また、6角形どうしの辺が2重にかさなったり、外に行くに従いスキ間が広がる場合には回転角度に誤りがあると推察します。
わずかな誤差、ズレは気にせず作図を進めます。ここまでの説明は前回とあまりかわりません。

(4)
5角形を水平上方向に3Dミラ-反転複写しておきます。モデル→右から見るで次の作業を行います。
5角形の傾斜角度を求めますが、計測対象の6角形の一辺を線分化することで正確な角度を求められます。（図4）r

具体的には6角形(3D図形)を同じ位置にコピペ、線分に変換後グル-プ解除して不要な5本の線分を削除します。
この画像は用意しておりません。
複写しておいた5角形を所定の位置に移動後、求めた角度回転させます。
拡大表示してズレがない事を確認したらモデル→上から見るに戻して3と同じ作業を行います。（図5）

(5)
4同様、5つの5角形間に収まる5つの6角形の傾斜角を求めます。（図6）　

複写した6角形を所定の位置に移動後、求められた角度で回転させ、3同様4個配列複製します。（図7）

ここで展開図をよく見ると、赤色の折線から下側16面は垂直軸にミラ-反転すると上側16面とは対称形である事がわかります。
一方3D図形をみると全部で16面出来ていますので上半分が完成した事がわかります。全てを選択してグル-プとします。
図8はこれを高い位置から見たものです。

(6)
モデル→前から見るに替えて、上半分を選択、水平下方向に3Dミラ-反転複写します。
一端上から見るに戻し、下半分を72/2＝36度回転させ上半分に合う位置まで移動させます。（図9）

上下2つを選択してグル-プとします。これを低い位置から見たものが図10です。

(7)
それでは最後にレンダリングしてみます。32面体なのに芝生に落ちた影を見るとカクカクしているのがわかります。（図11）

※-1　実際のサッカ-ボ-ルは多面体ではありませんし、大きさも異なります。　
※-2 実は正12面体をつくる説明もあり、こちらを経験されると正36面体の説明は理解しやすいとは思います。
※-3 このモデリング以外にも制作手順はあります。

3Dデータは下からダウンロードできます。
32D_v10.mcd

＊Baby Room 2008-04-27(日)

いつもお世話になり・・・m(_ _)m

＊べーちゃん (2008-04-30 (水) 13:16:55)
親切な解説に大変感謝しております。
連休中に作ってみたいと思います。
今後もよろしくお願いしますね。

モデル＞重なった部分を残す　という方法で多面体を作る。

• いきなり正四面体
  別のページで特集してます。→正多面体(ソリッド)